[ Pobierz całość w formacie PDF ]
MarekBe±ka,Wst¦pdoteoriimiary,wykład3
24
3Twierdzeniaorozszerzaniumiary
3.1Miarazewn¦trzna
Jak zwykle, niech X b¦dzie niepustym zbiorem.
Deﬁnicja 3.1 Funkcj¦ zbiorów
:2
X
![0;+1]spełniaj¡c¡ warunki:
(i)
(;)=0;
(ii) A B 22
X
)
(A)
(B);
(iii) A
n
22
X
, n 1)
S
n=1
A
n
P
n=1
(A
n
)
nazywamy miar¡ zewn¦trzn¡.
Zapoznamy si¦ teraz z prostymi przykładami miary zewn¦trznej.
Przykład 3.2 Niech
(
1 gdy E 6=;;
0 gdy E=;:
Łatwo sprawdzi¢, »e
jest miar¡ zewn¦trzn¡.
(E)=
Przykład 3.3 Niech X b¦dzie zbiorem nieprzeliczalnym. Okre±lmy
(
1 gdy
E
>
IN
0 gdy E IN:
(E)=
Równie» w tym przypadku łatwo sprawdzamy, »e
jest miar¡ zewn¦trzn¡.
Podan¡ poni»ej konstrukcj¦ miary zewn¦trznej b¦dziemy wielokrotnie wykorzystywa¢
Przykład 3.4 Niech C 2
X
b¦dzie niepust¡ rodzin¡ podzbiorów X zawieraj¡c¡ zbiór
pusty i niech b¦dzie dana funkcja zbiorów ':C ![0;+1]tak¡, »e '(;)=0. Okre±lmy
(E)=inf
n
X
n=1
B
n
; B
n
2C; n 1
o
; E X:
1
[
(3.1)
'(B
n
): E
n=1
Wtedy
jest miar¡ zewn¦trzn¡.
Rzeczywi±cie;
(i)
(;)=0, bo '(;)=0;
MarekBe±ka,Wst¦pdoteoriimiary,wykład3
25
(ii) Niech A;B 22
X
i A B. Wtedy ka»de pokrycie zbioru B jest pokryciem zbioru A.
Zatem
(A)
(B).
(iii) Niech A
n
22
X
, n 1. Je±li
(A
n
)=1 dla pewnego n 1to zachodzi nierówno±¢
[
n=1
1
X
A
n
(A
n
):
n=1
Załó»my, »e
(A
n
)< 1 dla ka»dego n 1. Wtedy z deﬁnicji kresu dolnego otrzy-
mujemy
^
_
[
1
X
1
'(A
n;j
)<
(A
n
)+
"
(3.2)
A
n
A
n;j
^
2
n
:
n1
j=1
j=1
fA
n;j
g
j1
C
Poniewa»
1
1
1
[
[
[
A
n
A
n;j
n=1
n=1
j=1
wi¦c z deﬁnicji
i (3.2) dostajemy
[
n=1
1
1
1
1
X
X
X
X
(A
n
)+
"
(A
n
)+":
A
n
'(A
n;j
)
=
2
n
n=1
j=1
n=1
n=1
Z dowolno±ci " >0dostajemy warunek (iii) deﬁnicji 3.1. Zatem
okre±lona wzorem
(3.1) jest miar¡ zewn¦trzn¡.
Deﬁnicja 3.5 Niech
b¦dzie miar¡ zewn¦trzn¡. Zbiór A X nazywamy
-mierzalnym
je±li
^
(E)=
(E \A)+
(E \A
0
):
(3.3)
EX
Rodzin¦ wszystkich zbiorów
-mierzalnych oznacza¢ b¦dziemy przez A(
).
Uwaga. Z warunku (i) oraz (iii) deﬁnicji miary zewn¦trznej wynika, »e dla dowolnego
zbioru A X zachodzi
^
(E)
(E \A)+
(E \A
0
):
EX
Zatem dla dowodu warunku (3.3) wystarczy sprawdzi¢, »e
^
(E)
(E \A)+
(E \A
0
):
(3.4)
EX
(E)<1
Poka»emy teraz, »e rodzina zbiorów
-mierzalnych jest niepusta. Zachodzi mianowicie
MarekBe±ka,Wst¦pdoteoriimiary,wykład3
26
Twierdzenie 3.6 Niech
b¦dzie miar¡ zewn¦trzn¡. Je±li
(A)=0lub
(A
0
)=0to
A 2A(
). W szczególno±ci ;2A(
)oraz X 2A(
).
Dowód. Niech
(A)=0. Wtedy dla dowolnego E X mamy
(E \ A)=0, bo
E \A A. Podobnie
(E)
(E \A
0
). St¡d
(E)
(E \A
0
)=
(E \A
0
)+
(E \A):
Podobnie, gdy
(A
0
)=0mamy
(E)
(E\A)oraz
(E\A
0
)
(A
0
)=0. Zatem
(E)
(E \A)=
(E \A)+
(E \A
0
):
W obu przypadkach warunek (3.4) jest spełniony, co ko«czy dowód twierdzenia.
2
Twierdzenie 3.7 Niech A
i
2A(
),1 i n b¦d¡ takie, »e A
i
\A
j
=; dla dowolnych
1 i 6=j n. Wtedy
[
n
X
^
(E \A
i
):
E \
A
i
=
EX
i=1
i=1
Dowód. Metod¡ indukcji. Dla n=1teza jest oczywista. Niech n >1. Poniewa»
A
n+1
2A(
)wi¦c na mocy(3.3) mamy
=
\A
n+1
+
\A
0
n+1
:
n+1
[
n+1
[
n+1
[
(3.5)
E \
A
i
E \
A
i
E \
A
i
i=1
i=1
i=1
Z rozł¡czno±ci A
i
dla1 i n+1mamy
E \
S
n+1
i=1
A
i
\ A
n+1
=E \ A
n+1
oraz
\A
0
n+1
=E \
S
i=1
A
i
. Z tych rozwa»a« oraz z
S
i=1
A
i
A
0
n+1
, a st¡d
E \
S
n+1
i=1
A
i
(3.5) dostajemy
E \
=
(E \A
n+1
)+
E \
=
n+1
n
n+1
[
[
X
(E \A
i
)
A
i
A
i
i=1
i=1
i=1
na mocy zało»enia indukcyjnego.
2
Rozszerzeniem udowodnionego co twierdzenia jest
Twierdzenie 3.8 Niech A
i
2A(
), i 1b¦d¡ takie, »e A
i
\A
j
=; dla dowolnych i 6=j,
i;j 1. Wtedy
E \
=
1
1
^
[
X
(E \A
i
):
A
i
EX
i=1
i=1
MarekBe±ka,Wst¦pdoteoriimiary,wykład3
27
Dowód. Niech E X. Wtedy dla dowolnego n 1na mocy Twierdzenia 3.7 oraz z
deﬁnicji miary zewn¦trznej otrzymujemy
(E \A
i
)=
E \
A
i
E \
A
i
n
X
[
[
1
i=1
i=1
i=1
(3.6)
=
[
i=1
E \A
i
1
X
(E \A
i
):
i=1
Przechodz¡c w (3.6) z n !1 dostajemy
(E \A
i
)
E \
1
1
1
X
[
X
(E \A
i
):
A
i
i=1
i=1
i=1
Co ko«czy dowód Twierdzenia 3.8.
2
Podamy teraz z dowodem podstawowe twierdzenie o konstrukcji miary na -algebrze.
Twierdzenie 3.9 (Caratheodory’ego) Niech
b¦dzie miar¡ zewn¦trzn¡ na X. Wtedy
A(
)jest -algebr¡ oraz
zaw¦»ona do A(
)jest miar¡.
Dowód.Wyka»emy najpierw, »e A(
)jest algebr¡.
(i) Z Twierdzenia 3.6 wynika, »e ;2A(
);
(ii) Implikacja A 2A(
)) A
0
2A(
)wynika natychmiast z deﬁnicji
-mierzalno±ci;
(iii) Niech A;B 2A(
). Chcemy pokaza¢, »e A[B 2A(
)tzn.
^
(E)=
E \(A[B)
+
E \(A[B)
0
:
(3.7)
EX
Poniewa» A 2 A(
)wi¦c z deﬁnicji
-mierzalno±ci zastosowanej do pierwszego
składnika sumy prawej strony równania (3.7) otrzymujemy
E \(A[B)
+
E \(A[B)
0
=
E \(A[B)\A
+
E \(A[B)\A
0
+
E \(A[B)
0
=
(E \A)+
(E \B\A
0
)+
(E \A
0
\B
0
)
=
(E \A)+
(E \A
0
\B)+
(E \A
0
\B
0
)
=
(E \A)+
(E \A
0
)=
(E):
MarekBe±ka,Wst¦pdoteoriimiary,wykład3
28
A wi¦c A(
)jest algebr¡. Załó»my teraz, »e A
i
2 A(
), i 1oraz A
i
\ A
j
=; dla
dowolnych i 6=j, i;j 1. Udowodnimy, »e
S
i=1
A
i
2A(
). Z tego, »e A(
)jest algebr¡
oraz z Twierdzenia 3.7 dla E X i dowolnego n 1otrzymujemy
(E)=
E \
A
i
+
E \
[
i=1
A
i
0
[
i=1
E \
+
E \
[
i=1
0
n
[
A
i
A
i
i=1
(E \A
i
)+
E \
[
i=1
0
n
X
=
A
i
:
i=1
Przechodz¡c teraz z n !1 otrzymujemy z Twierdzenia 3.8
(E \A
i
)+
E \
[
i=1
A
i
0
=
E \
A
i
+
E \
[
i=1
A
i
0
1
1
X
[
(E)
i=1
i=1
co na mocy (3.4) daje
S
i=1
A
i
2A(
).
Niech teraz A
i
2 A(
), i 1b¦d¡ dowolne (tzn. nie musz¡ by¢ parami rozł¡czne).
Okre±lmy
B
1
=A
1
2A(
);
n1
[
A
i
2A(
); n >1:
B
n
=A
n
n
i=1
Zauwa»my, »e B
n
\B
m
=; dla n 6=m i m;n 1oraz
1
[
[
1
B
n
2A(
)na mocy udowodnionej powy»ej własno±ci:
A
i
=
n=1
i=1
Zatem udowodnili±my, »e A(
)jest -algebr¡. Korzystaj¡c z Twierdzenia 3.8 łatwo za-
uwa»y¢ (wystarczy podstawi¢ E:=X), »e
zaw¦»ona do A(
)jest miar¡. Tym samym
dowód twierdzenia Caratheodory’ego został zako«czony.
2
Twierdzenie 3.10 (O rozszerzeniu miary) Niech b¦dzie miar¡ na algebrze C. Wtedy
mo»e by¢ rozszerzona do miary na -algebrze (C). Je±li ponadto jest -sko«czona to
rozszerzenie to jest jednoznaczne.
Dowód.Okre±lmy funkcj¦ zbiorów
n
X
o
1
[
(E)=inf
(3.8)
(A
n
): E
A
n
; A
n
2C; n 1
; E X:
n=1
n=1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Wątki

Search